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Beskrivelse
O artigo "Memoire sur les equations differentielles algebriques du premier ordre et du premier degre" do matematico Jean Gaston Darboux, introduziu em 1878 uma nova maneira de se estudar os campos vetoriais polinomiais. Entre os varios resultados importantes neste artigo, temos o Lema de Darboux. Apresentamos neste texto duas demonstracoes. A primeira segue as ideias de Darboux e e feita de uma maneira elementar, usando as propriedades do indice de intersecao entre curvas algebricas planas. A segunda e um pouco mais sofisticada, pois utiliza sequencias exatas e resultados sobre as dimensoes dos espacos vetoriais que aparecem nestas sequencias. Tambem ilustramos a utilidade do Lema de Darboux apresentando algumas aplicacoes. Mostramos, por exemplo, que uma solucao algebrica nao-linear e sem pontos multiplos de um campo vetorial polinomial tem grau menor ou igual ao grau do campo mais um. Numa outra aplicacao, provamos que um campo quadratico polinomial afim real nao tem cubicas como ciclos limites algebricos. Por fim, determinamos o numero de singularidades, com as suas respectivas multiplicidades, de um campo vetorial homogeneo com uma quantidade finita de pontos singulares."
