Nonlinear Spectral Theory

Aufgrund der herausragenden Bedeutung der Spektraltheorie linearer Operatoren in vielen Bereichen der Mathematik und Physik ist es nicht verwunderlich, dass verschiedene Versuche unternommen wurden, Spektren auch fur nichtlineare Operatoren zu definieren und zu untersuchen. Dieses Buch bietet eine umfassende und in sich abgeschlossene Behandlung der Theorie, Methoden und Anwendungen der nichtlinearen Spektraltheorie. Im ersten Kapitel wird eine kurze Wiederholung der Definition und Eigenschaften des Spektrums und verschiedener Subspektren fur gebundene lineare Operatoren vorgenommen. Im Anschluss werden einige numerische Eigenschaften fur nichtlineare Operatoren eingefuhrt, die fur die Beschreibung der Operatorenklassen nutzlich sind, fur die eine Spektraltheorie existiert. Da Spektralwerte eng mit den Losbarkeitsresultaten fur Operatorengleichungen zusammenhangen, werden verschiedene Bedingungen fur die lokale oder globale Invertierbarkeit eines nichtlinearen Operators im dritten Kapitel aufgestellt. Die folgenden zwei Kapitel betreffen Spektren fur bestimmte Klassen von stetigen, Lipschitz-stetigen und Differentialoperatoren. Diese Spektren passen jedoch einfach die entsprechenden Definitionen der linearen Theorie an, was ihre Anwendbarkeit in gewisser Weise einschrankt. Andere Spektren, die auf eine vollstandig unterschiedliche Weise definiert werden, jedoch nutzliche Anwendungsmoglichkeiten aufzuweisen scheinen, werden in den folgenden vier Kapiteln definiert und untersucht. Die restlichen drei Kapitel sind mehr auf die Anwendung ausgerichtet und behandeln nichtlineare Eigenwertprobleme, numerische Bereiche und ausgewahlte Anwendungen fur nichtlineare Probleme. Die einzigen Voraussetzungen fur das Verstandnis dieses Buchs sind gewisse Vorkenntnisse in Funktionsanalyse und Operatorentheorie. Es ist fur Nicht-Fachleute gedacht, die einen Uberblick uber die Entwicklung der Spektraltheorie fur nichtlineare Operatoren in den letzten 30 Jahren sowie einen kurzen Abriss uber die verschiedenen Richtungen, in die sich die Forschung derzeit bewegt, erhalten mochten.