Grundlagen der Funktionentheorie

Dieses Buch stellt eine Einf hrung in die (komplexe) Funktionentheorie dar. Die Funktionentheorie ist eine nach den verschiedensten Richtungen sehr weit entwickelte mathematische Theorie, deren Grundlage die Theorie der komplexen Differentiation ist. Einer der wichtigsten S tze der Funktionentheorie ist der Cauchysche Integralsatz. Er besagt, da das komplexe Kurvenintegral einer komplexwertigen Funktion 1 (z) ber eine geschlossene Kurve gleich Null ist, wenn I(z) in jedem Punkt ihres Definitionsgebietes im komplexen Sinne differen- zierbar ist. Allerdings gilt diese Aussage nur, wenn ber die Struktur des Defini- tionsgebietes bestimmte Voraussetzungen gemacht werden. Hierin zeigt sich die enge Verbindung von Funktionentheorie und Topologie der Ebene. Diesen Zusammenhang kann man verwenden, um die Funktionentheorie gleich von Anfang an durch Heranziehung topologischer Aussagen aufzubauen. Ein sol- cher Satz, der an die Spitze der Funktionentheorie gestellt werden kann, ist der Jordansche Kurvensatz. Seine Verwendung ist f r die Funktionentheorie u erst bequem, da in den Begriff des einfach zus mmenh ngenden Gebietes, zu dessen Definition man die Aussage de'> Jordanschen Kurvensatzes ben tigt, sozusagen alle topologischen Schwierigkeiten hineingesteckt werden. Ein Nach- teil dieser Ans tze ist, da manche Analogien zur reellen Analysis, die erhalten bleiben k nnten, verlorengehen. SARS und ZYGMUND waren meines Wissens die ersten, die auf diesen Umstand hingewiesen und in ihrem Buch 56] die Funktionentheorie ohne Verwendung des Jordanschen Kurvensatz3s aufgebaut haben. Diese Idee wurde von L. AHLFoRs 1] erneut aufgegriffen. R. NEVAN- LINNA und V. PAATERO gaben in 48] einen Aufbau der Funktionentheorie mit Hilfe von Elementardeformationen, wodurch unn tige topologische Schwierig- keiten umgangen werden.