Geometrie der Zahlen

Whilst the greatest effort has been made to ensure the quality of this text, due to the historical nature of this content, in some rare cases there may be minor issues with legibility. Diese Schrift enthalt eine neue Art Anwendungen der Analysis des Unendlichen auf die Zahlentheorie oder, besser gesagt, knupft ein neues Band zwischen diesen zwei Gebieten. Es werden hier in Bezug auf eine Klasse von vielfachen Integralen einige Ungleichungen entwickelt, die eine fundamentale Bedeutung haben fur Fragen uber approximative Auflosung von Gleichungen durch rationale Zahlen und fur Probleme, welche mit derartigen Fragen zusammenhangen.

Die wesentlichste Anregung verdankt diese Schrift den Briefen von Herrn Hermite an J acobi ,, sur diikerents objets de la theorie des nombres im 40. Bande des Crelleschen Journals Herr Her mite stellt dort den Satz auf, dass man in einer positiven quadratischen Form fur die variabeln immer solche ganze Zahlen, die nicht samtlich Null sind, einsetzen kann, dass der Wverth der Form eine, ganz allein durch die Determinante der Form ausgedruckte Grenze nicht uberschreitet, und er erweist diesen Satz als ein machtiges Hulfsmittel der Zahlentheorie in solchen Fragen, wie sie soeben bezeichnet wurden.

Die ebenfalls im 40. Bande des Grelleschen Journals gedruckte Abhandlung von Dirichlet ,, Uber die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen legte es mir nahe, die jenem Satze von Herrn Hermite entsprechende Eigenschaft des Ellipsoids geometrisch zu deuten, und ich erhielt zunachst fur jenen Satz einen neuen und ergiebigeren Beweis, den ich im 107. Bande des Orelleschen Journals auseinander gesetzt habe. In der Folge bemerkte ich, dass die betreffende Eigenschaft des Ellipsoids allein in dem Umstande ihren Grund hat, dass das Ellipsoid eine nirgends concave Flache mit Mittelpunkt ist, und ich wurde dadurch auf ein arithmetisches Princip von besonderer Fruchtbarkeit aufmerksam; es beruht die vielseitige Verwendung dieses Princips auf der Mannigfaltigkeit von Einzelgesta1ten, die eine nirgends concave Flache mit Mittelpunkt darzubieten imstan