Einführung in die harmonische Analyse

Es bezeichne Si die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1 und 2 L (Si) den zum Lebesgue-Ma konstruierten komplexen Hilbert-Raum ber Si. 2 Jedem Punkt SES ist ein Translationsoperator y(s) von L (Sl) in sich zugeordnet, l 2 welcher E L (Si) in z - (S-l z) berf hrt. Die Abbildung S - y (s) ist eine Darstellung der Gruppe Si. Betrachtet man die jedem E U (S 1) zugeordnete F ourier- Reihe L C zn, so erh lt man eine Zerlegung von U(Sl) in die eindimensionalen n neZ Untervektorr ume (Hn)nez, die aus allen komplexen Vielfachen der Funktionen z - z" bestehen. Auf jedem der R ume (Hn)nez operieren die linearen Abbildungen (y(s)seSI irreduzibel. Das Entwickeln in Fourier-Reihen kann demnach als Zerlegen der Darstellung y in irreduzible Teildarstellungen aufgefa t werden. Diese zun chst ungewohnte Sicht der Fourier-Reihen hat sich als sehr fruchtbar erwiesen. Nach heutiger Erkenntnis besteht das Hauptproblem der harmonischen Analyse in der Zerlegung linearer Gruppendarstellungen in "elementare" Teildarstellungen. Mit Hilfe dieser Abstraktion erh lt die Theorie der Fourier-Reihen, der Fourier-Integrale und der Entwicklungen nach einer gro en Klasse spezieller Funktionen einen gemeinsamen Rahmen. Zugleich wird deutlich, warum die Theorie der Fourier-Reihen aus dieser Sicht von relativ elementarem Charakter ist: Die Kommutativit t der Gruppe Si impliziert die Eindimensionalit t der Vektorr ume (Hn)nez. Das vorliegende Buch soll in die harmonische Analyse unter Betonung des gruppentheoretischen Standpunktes einf hren.