Eine Linienmethode Zur Approximativen Losung Inverser Probleme Fur Elliptische Differentialgleichungen

Die vorliegende Arbeit behandelt die Herleitung, theoretische Analyse und praktisch-numerische Erprobung einer Linienmethode fur das Cauchy-Problem fur elliptische Differentialgleichungen. Untersucht werden zum einen die Poisson- beziehungsweise Laplace-Gleichung und zum anderen eine allgemeinere Gleichung mit einem von einer Ortsdimension abhangigen Diffusionskoeffizienten. Auf der Grundlage einer bedingten Stabilitatsabschatzung fur das kontinuierliche Problem vom Holder-Typ, deren Beweis in der bisherigen Literatur zum Teil nicht ausreichend exakt durchgefuhrt wurde, und mit Hilfe der Einfuhrung bestimmter endlichdimensionaler Datenraume, auf die man die (unter Umstanden) gestorten Cauchy-Daten projeziert, gelingt die Regularisierung dieses schlecht gestellten Problems und der Nachweis von Fehlerabschatzungen und Konvergenzsatzen fur die Linienmethode fur beide betrachtete Differentialoperatoren. In dem Fall einer PDGL mit Diffusionskoeffizient werden dabei zusatzlich benotigte, umfangreiche Untersuchungen zur Konvergenz der Eigenwerte beziehungsweise Eigenvektoren der diskreten Approximation einer Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe durchgefuhrt. Zum Abschluss werden einige numerischen Ergebnisse vorgestellt und unter Bezugnahme auf die vorher erzielten theoretischen Resultate diskutiert.