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Beskrivelse
Das Dirichlet-Problem ist zweifellos eine der wichtigsten Fragestellungen der Analysis. Dabei handelt es sich um die Suche nach einer harmonischen Funktion auf einem Gebiet im euklidischen Raum, die eine gegebene stetige Funktion auf dem Rand des Gebietes in das Innere stetig fortsetzt. Dieses Problem ist bei hinreichend glatt berandeten Gebieten eindeutig losbar, und die Losungsfunktion lasst sich in der Form eines gewichteten Integrals uber die Randfunktion darstellen. Man spricht vom Poisson-Integral, und das vom inneren Punkt abhangige Gewicht heisst Poisson-Kern. Ausser fur ganz wenige Arten von Gebieten (wie etwa fur Kugeln oder Halbraume) sind keine expliziten Ausdrucke fur den Poisson-Kern verfugbar. In dieser Abhandlung werden die Poisson-Kerne fur (geodatische) Kugeln in den nicht-euklidischen Raumen konstanter Krummung und beliebiger Dimension berechnet. (Die Prototypen dieser Raume sind die euklidischen Spharen und die hyperbolischen Raume.) Dabei treten interessante Spezialfalle auf, wie der einer Halbsphare und des damit zusammenhangenden elliptischen Raumes, in dem der Poisson-Kern eine ahnliche Struktur wie im Euklidischen besitzt. Ein ganzes Kapitel befasst sich mit den Desintegrations- oder Faktorisierungseigenschaften des Poisson-Integrals. Desweiteren wird der Poisson-Kern fur das Aussere einer Kugel im hyperbolischen Raum konkret angegeben. In allen Darstellungen, Ausdrucken und Formeln spielt die klassische hypergeometrische Funktion eine zentrale Rolle. Das nicht-euklidische Poisson-Integral stellt damit einen wichtigen Anwendungsbereich dieser Funktion dar.