Beweis Der Kongruenzen Von Berwick Sowie Deren Verallgemeinerung Und Weitere Anwendungen Von Torsionspunkten Auf Elliptischen Kurven

Im Jahr 1927 machte W.E. Berwick eine interessante Entdeckung im Bereich der algbraischen Zahlentheorie. Anhand von Beispielen konnte er erkennen, dass sich die Tatsache, wie sich eine Primzahl in einem imaginar-quadratischen Zahlkorper verhalt, in der Faktorisierung der singularen Werte von jwiderspiegelt. Berwick hatte dafur allerdings keinen Beweis. In der vorliegenden Dissertation wird diese 75 Jahre alte Fragestellung nun umfassend beantwortet. Es zeigt sich dabei, dass fur die von Berwick vermuteten Kongruenzen fur die singularen Werte von j die Teilungspolynome der Weierstrass'schen wp-Funktion eine entscheidende Rolle spielen. Die Quelle der Weisheit liegt dabei zum einen in den auf R. Schertz zuruckgehenden normierten Teilwerten der wp-Funktion und zum anderen auf der nach K. Ramachandra, R. Schertz und W. Bley bekannten Faktorisierung der singularen Werte von varphi. Auf diesem Weg lassen sich nicht nur die Aussagen von Berwick behandeln. Es ergibt sich daruberhinaus ein naturliches Analogon der Fragestellung von Berwick fur beliebige Primzahlen. Weiter gewinnt man so auch Kongruenzen fur die Teilungspolynome selbst, wie sie erstmals von J. Cassels beobachtet wurden. Der zweite Teil der Arbeit beschaftigt sich dann mit der globalen Konstruktion assoziierter Ordnungen. Das entscheidend Neue dabei ist die Moglichkeit, mit Hilfe der normierten wp-Teilwerte fur lokal definierte Ordnungen global erzeugende Elemente anzugeben. Die betrachteten Ordnungen treten dabei in naturlicher Weise in der Galoismodulstruktur der Ringklassenkorper auf.